ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 31 / вариант 1 - 2

Вычислим значение тригонометрического выражения (символ $\boxed{3}$ в дидактических материалах указывает на третий уровень сложности задания). $$ \sin{\frac{13\pi}{6}} - \cos{\frac{11\pi}{6}} + \operatorname{ctg}{\frac{11\pi}{4}} $$ Вычислим каждое слагаемое отдельно, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения. 1. Для синуса период равен $2\pi$: $$ \sin{\frac{13\pi}{6}} = \sin{\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right)} = \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} $$ 2. Для косинуса период равен $2\pi$: $$ \cos{\frac{11\pi}{6}} = \cos{\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right)} = \cos{\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 3. Для котангенса период равен $\pi$: $$ \operatorname{ctg}{\frac{11\pi}{4}} = \operatorname{ctg}{\left(3\pi - \frac{\pi}{4}\right)} = \operatorname{ctg}{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} = -\operatorname{ctg}{\frac{\pi}{4}} = -1 $$ Подставим найденные значения в исходное выражение: $$ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + (-1) = \frac{1}{2} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$ *(Примечание: если число в рамке в условии задачи рассматривать не как уровень сложности, а как числовой множитель $3$, то значение выражения равно $3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$).* Ответ: $-\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}$ (или $\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}$, если $\boxed{3}$ — коэффициент).