ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 30 / вариант 2 - 22

22. $\boxed{7}$ Дано уравнение: $$1 + \cos 5x = 2 \cos \frac{5}{2}x$$ Применим формулу понижения степени (или формулу косинуса двойного угла) $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$ для аргумента $\alpha = \frac{5}{2}x$: $$1 + \cos 5x = 2 \cos^2 \frac{5}{2}x$$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$2 \cos^2 \frac{5}{2}x = 2 \cos \frac{5}{2}x$$ Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим обе части уравнения на 2: $$\cos^2 \frac{5}{2}x - \cos \frac{5}{2}x = 0$$ Вынесем общий множитель $\cos \frac{5}{2}x$ за скобки: $$\cos \frac{5}{2}x \left(\cos \frac{5}{2}x - 1\right) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos \frac{5}{2}x = 0$ $$\frac{5}{2}x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Умножим обе части равенства на $\frac{2}{5}$: $$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 2) $\cos \frac{5}{2}x - 1 = 0 \iff \cos \frac{5}{2}x = 1$ $$\frac{5}{2}x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Умножим обе части равенства на $\frac{2}{5}$: $$x = \frac{4\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}, \; n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{4\pi k}{5}, \; k \in \mathbb{Z}$.