ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 5

5. Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{2}} x > 3 $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): под знаком логарифма должно стоять строго положительное число: $$ x > 0 $$ 2. Представим число $3$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$: $$ 3 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} $$ 3. Перепишем исходное неравенство: $$ \log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} $$ 4. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{2}} t$ убывает на всей своей области определения. Поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x < \frac{1}{8} $$ 5. С учётом ОДЗ запишем систему неравенств: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x < \dfrac{1}{8} \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ 0 < x < \frac{1}{8} $$ или в виде числового промежутка: $x \in \left(0; \frac{1}{8}\right)$. Ответ: $\left(0; \frac{1}{8}\right)$.