ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 2

2. 3) Найдём область определения функции: $$ y = \ln(x^2 - 9) $$ Логарифмическая функция определена только для строго положительных значений под знаком логарифма. Следовательно, аргумент логарифма должен удовлетворять условию: $$ x^2 - 9 > 0 $$ Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - 3)(x + 3) > 0 $$ Применим метод интервалов. Найдём нули функции $f(x) = x^2 - 9$: $$ x - 3 = 0 \implies x = 3 $$ $$ x + 3 = 0 \implies x = -3 $$ Точки $x = -3$ и $x = 3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знаки выражения $(x - 3)(x + 3)$ на каждом из интервалов: — при $x \in (3; +\infty)$ (например, при $x = 4$): $(4 - 3)(4 + 3) = 1 \cdot 7 > 0$ (знак «$+$»); — при $x \in (-3; 3)$ (например, при $x = 0$): $(0 - 3)(0 + 3) = -9 < 0$ (знак «$-»$); — при $x \in (-\infty; -3)$ (например, при $x = -4$): $(-4 - 3)(-4 + 3) = (-7) \cdot (-1) > 0$ (знак «$+$»). Неравенству удовлетворяют интервалы, где выражение строго больше нуля: $$ x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) $$ Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.