ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 29

**29.** **5)** Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{2}}(x+8) > \log_{\frac{1}{2}}(x-3) + \log_{\frac{1}{2}}(3x) $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подлогарифмические выражения должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x + 8 > 0, \\ x - 3 > 0, \\ 3x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -8, \\ x > 3, \\ x > 0 \end{cases} \iff x > 3 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$. 2. Преобразуем сумму логарифмов в правой части неравенства с помощью свойства логарифма произведения $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $$ \log_{\frac{1}{2}}(x+8) > \log_{\frac{1}{2}}(3x(x - 3)) $$ $$ \log_{\frac{1}{2}}(x+8) > \log_{\frac{1}{2}}(3x^2 - 9x) $$ 3. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{2}} t$ является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x + 8 < 3x^2 - 9x $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ 3x^2 - 9x - x - 8 > 0 $$ $$ 3x^2 - 10x - 8 > 0 $$ 4. Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 10x - 8 = 0$: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2 $$ $$ x_1 = \frac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $$ $$ x_2 = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 $$ Решением квадратного неравенства $3x^2 - 10x - 8 > 0$ являются интервалы: $$ x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right) \cup (4; +\infty) $$ 5. Пересечем полученное решение с областью допустимых значений: $$ \begin{cases} x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right) \cup (4; +\infty), \\ x > 3 \end{cases} \iff x \in (4; +\infty) $$ Ответ: $(4; +\infty)$