ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 23

23. Решим уравнение: $$3 \log_4 x = 2 \log_3^3 x$$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$x > 0$$ 2. **Преобразование уравнения:** Выразим $\log_4 x$ через логарифм по основанию $3$, применив формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$: $$\log_4 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 4}$$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$3 \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 4} = 2 \log_3^3 x$$ Перенесём все слагаемые в одну часть: $$2 \log_3^3 x - \frac{3}{\log_3 4} \log_3 x = 0$$ Вынесем общий множитель $\log_3 x$ за скобки: $$\log_3 x \left( 2 \log_3^2 x - \frac{3}{\log_3 4} \right) = 0$$ 3. **Нахождение корней:** Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\log_3 x = 0$ $$x_1 = 3^0 = 1$$ 2) $2 \log_3^2 x - \frac{3}{\log_3 4} = 0$ $$2 \log_3^2 x = \frac{3}{\log_3 4}$$ $$\log_3^2 x = \frac{3}{2 \log_3 4}$$ Используя свойство $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$, перепишем правую часть: $$\log_3^2 x = \frac{3}{2} \log_4 3$$ Так как $4 = 2^2$, то $\log_4 3 = \frac{1}{2} \log_2 3$: $$\log_3^2 x = \frac{3}{4} \log_2 3$$ Отсюда: $$\log_3 x = \pm \sqrt{\frac{3}{4} \log_2 3} = \pm \frac{\sqrt{3 \log_2 3}}{2}$$ По определению логарифма: $$x_2 = 3^{\frac{\sqrt{3 \log_2 3}}{2}}$$ $$x_3 = 3^{-\frac{\sqrt{3 \log_2 3}}{2}}$$ 4. **Проверка ОДЗ:** Все найденные значения $x_1 = 1$, $x_2 = 3^{\frac{\sqrt{3 \log_2 3}}{2}}$ и $x_3 = 3^{-\frac{\sqrt{3 \log_2 3}}{2}}$ положительны, так как основание степени $3 > 0$, а значит, удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $1$; $3^{\frac{\sqrt{3 \log_2 3}}{2}}$; $3^{-\frac{\sqrt{3 \log_2 3}}{2}}$ (или $1$; $3^{\pm \sqrt{\frac{3}{2 \log_3 4}}}$).