ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 24

**24.** Решим логарифмическое уравнение: $$ 3 \log_{9} x + 2 \log_{x} 9 = 5 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Аргумент и основание логарифма должны быть положительными, а основание не должно быть равно единице: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1. \end{cases} $$ **2. Преобразование уравнения:** Используем свойство взаимообратных логарифмов $\log_{x} 9 = \dfrac{1}{\log_{9} x}$. Подставим это выражение в уравнение: $$ 3 \log_{9} x + \frac{2}{\log_{9} x} = 5 $$ **3. Замена переменной:** Пусть $t = \log_{9} x$, где $t \neq 0$ (так как $x \neq 1$). Получаем уравнение: $$ 3t + \frac{2}{t} = 5 $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ 3t^2 - 5t + 2 = 0 $$ Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$ $$ t_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ **4. Обратная замена:** 1) При $t = \dfrac{2}{3}$: $$ \log_{9} x = \frac{2}{3} $$ $$ x = 9^{\frac{2}{3}} = (3^2)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{3^4} = 3\sqrt[3]{3} $$ 2) При $t = 1$: $$ \log_{9} x = 1 $$ $$ x = 9^1 = 9 $$ **5. Проверка по ОДЗ:** Оба найденных значения $x_1 = 3\sqrt[3]{3}$ и $x_2 = 9$ удовлетворяют условиям $x > 0$ и $x \neq 1$. Ответ: $3\sqrt[3]{3};\; 9$.