ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 25

**25.** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_{2}x - \log_{2}y = 3, \\ 4y^2 + x - 5 = 0. \end{cases} $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Под знаком логарифма могут находиться только строго положительные числа: $$ \begin{cases} x > 0, \\ y > 0. \end{cases} $$ **2. Преобразование первого уравнения:** Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$: $$ \log_{2}\left(\frac{x}{y}\right) = 3 $$ По определению логарифма: $$ \frac{x}{y} = 2^3 $$ $$ \frac{x}{y} = 8 \implies x = 8y $$ **3. Подстановка во второе уравнение:** Подставим полученное выражение $x = 8y$ во второе уравнение системы: $$ 4y^2 + 8y - 5 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2 $$ $$ y_1 = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ $$ y_2 = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -2{,}5 $$ **4. Отбор корней с учётом ОДЗ и нахождение переменной $x$:** Значение $y_2 = -2{,}5$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому посторонний корень. Значение $y = 0{,}5$ удовлетворяет условию $y > 0$. Найдем соответствующее значение переменной $x$: $$ x = 8 \cdot 0{,}5 = 4 $$ Значение $x = 4 > 0$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $(4; 0{,}5)$.