ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 20

Решим логарифмическое уравнение: $$ \log_{0,8} \log_2 \log_3 (x^2 + 3x - 1) = 0 $$ Последовательно применим определение логарифма ($\log_a b = c \iff b = a^c$): 1. Избавимся от внешнего логарифма по основанию $0,8$: $$ \log_2 \log_3 (x^2 + 3x - 1) = 0,8^0 $$ $$ \log_2 \log_3 (x^2 + 3x - 1) = 1 $$ 2. Избавимся от логарифма по основанию $2$: $$ \log_3 (x^2 + 3x - 1) = 2^1 $$ $$ \log_3 (x^2 + 3x - 1) = 2 $$ 3. Избавимся от логарифма по основанию $3$: $$ x^2 + 3x - 1 = 3^2 $$ $$ x^2 + 3x - 1 = 9 $$ 4. Перенесем все слагаемые в левую часть и решим полученное квадратное уравнение: $$ x^2 + 3x - 10 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ Корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5 $$ 5. Проверим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в процессе решения получено $x^2 + 3x - 1 = 9$, все подлогарифмические выражения автоматически положительны: — $x^2 + 3x - 1 = 9 > 0$; — $\log_3(x^2 + 3x - 1) = \log_3 9 = 2 > 0$; — $\log_2(\log_3(x^2 + 3x - 1)) = \log_2 2 = 1 > 0$. Следовательно, оба найденных значения являются корнями исходного уравнения. Ответ: $-5;\ 2$