ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 18

18. Решим уравнение: $$ 2 \log_5 x + \log_{\sqrt{x}} x - \log_{\frac{1}{5}} x = 8 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, а основание логарифма — положительным и не равным единице: $$ \begin{cases} x > 0 \\ \sqrt{x} > 0 \\ \sqrt{x} \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. Преобразуем каждое слагаемое уравнения, используя свойства логарифмов: - Слагаемое $\log_{\sqrt{x}} x$: $$ \log_{\sqrt{x}} x = \log_{x^{\frac{1}{2}}} x = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_x x = 2 \cdot 1 = 2 $$ - Слагаемое $\log_{\frac{1}{5}} x$: $$ \log_{\frac{1}{5}} x = \log_{5^{-1}} x = -\log_5 x $$ 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ 2 \log_5 x + 2 - (-\log_5 x) = 8 $$ $$ 2 \log_5 x + 2 + \log_5 x = 8 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 3 \log_5 x + 2 = 8 $$ $$ 3 \log_5 x = 6 $$ $$ \log_5 x = 2 $$ 4. По определению логарифма: $$ x = 5^2 $$ $$ x = 25 $$ Значение $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 > 0$ и $25 \neq 1$). Ответ: 25