ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 17

**17.** Решим логарифмическое уравнение: $$ \log_{2}(x+1) + 2 \log_{4}(x+5) = 8 + \log_{\frac{1}{2}} 8 $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ x + 5 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1, \\ x > -5 \end{cases} \iff x > -1 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$. 2. **Преобразуем правую часть уравнения:** Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $8 = 2^3$, получаем: $$ \log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = -3 $$ Тогда правая часть равна: $$ 8 + \log_{\frac{1}{2}} 8 = 8 - 3 = 5 $$ 3. **Преобразуем левую часть уравнения:** Приведем логарифмы к основанию $2$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $$ 2 \log_{4}(x+5) = 2 \log_{2^2}(x+5) = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2(x+5) = \log_2(x+5) $$ Подставим полученное выражение в левую часть и применим формулу суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $$ \log_{2}(x+1) + \log_{2}(x+5) = \log_{2}((x+1)(x+5)) $$ 4. **Решим полученное уравнение:** $$ \log_{2}((x+1)(x+5)) = 5 $$ По определению логарифма: $$ (x+1)(x+5) = 2^5 $$ $$ x^2 + 5x + x + 5 = 32 $$ $$ x^2 + 6x + 5 - 32 = 0 $$ $$ x^2 + 6x - 27 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета: $$ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2 $$ $$ x_1 = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9 $$ 5. **Проверка корней по ОДЗ ($x > -1$):** - Корень $x_1 = 3 > -1$ — удовлетворяет ОДЗ; - Корень $x_2 = -9 \leqslant -1$ — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень). Ответ: $3$