ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 14

**14.** $\boxed{5}$ Решите уравнение: $$\log_{0,5} \frac{10}{7-x} = \log_{0,5} x$$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$\begin{cases} \dfrac{10}{7-x} > 0, \\ x > 0 \end{cases}$$ Так как числитель дроби положителен ($10 > 0$), знаменатель также должен быть строго больше нуля: $$\begin{cases} 7 - x > 0, \\ x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 7, \\ x > 0 \end{cases} \iff x \in (0; 7)$$ 2. Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, приравняем выражения, стоящие под знаками логарифмов: $$\frac{10}{7-x} = x$$ 3. При $x \in (0; 7)$ умножим обе части уравнения на $(7 - x)$: $$10 = x(7 - x)$$ $$10 = 7x - x^2$$ $$x^2 - 7x + 10 = 0$$ 4. Найдём корни полученного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 7, \\ x_1 \cdot x_2 = 10 \end{cases} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 5$$ 5. Проверим принадлежность найденных корней ОДЗ: - для $x_1 = 2$: $0 < 2 < 7$ — входит в ОДЗ; - для $x_2 = 5$: $0 < 5 < 7$ — входит в ОДЗ. Ответ: $2; \; 5$