ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 12

12. $$ \log_{11} (2x^2 - 9x + 5) - \log_{11} x = \log_{11} (x - 3) $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} 2x^2 - 9x + 5 > 0 \\ x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $$ Из неравенства $x - 3 > 0$ следует, что $x > 3$. При этом условие $x > 0$ выполняется автоматически. Перенесем $-\log_{11} x$ в правую часть уравнения: $$ \log_{11} (2x^2 - 9x + 5) = \log_{11} (x - 3) + \log_{11} x $$ Применим свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $$ \log_{11} (2x^2 - 9x + 5) = \log_{11} (x(x - 3)) $$ Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем выражения под знаками логарифмов: $$ 2x^2 - 9x + 5 = x(x - 3) $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 2x^2 - 9x + 5 = x^2 - 3x $$ $$ 2x^2 - x^2 - 9x + 3x + 5 = 0 $$ $$ x^2 - 6x + 5 = 0 $$ Найдем корни полученного квадратного уравнения по теореме Виета: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 5 $$ Проверим найденные значения по условиям ОДЗ: 1. При $x = 1$: выражение $x - 3 = 1 - 3 = -2 < 0$, следовательно, $x = 1$ — посторонний корень. 2. При $x = 5$: * $x = 5 > 0$; * $x - 3 = 5 - 3 = 2 > 0$; * $2x^2 - 9x + 5 = 2 \cdot 5^2 - 9 \cdot 5 + 5 = 50 - 45 + 5 = 10 > 0$. Все условия ОДЗ выполняются, значит, число $5$ является корнем уравнения. Ответ: $5$