ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 10

10. Решим логарифмическое уравнение: $$ \log_{5}(x^{2}-4) - \log_{5}(x-2) = 0 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x^2 - 4 > 0, \\ x - 2 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ (x - 2)(x + 2) > 0 \implies x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) $$ Решим второе неравенство: $$ x > 2 $$ Пересекая решения, получаем ОДЗ: $$ x \in (2; +\infty) $$ 2. Перенесем слагаемое с отрицательным знаком в правую часть уравнения: $$ \log_{5}(x^2 - 4) = \log_{5}(x - 2) $$ Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем подлогарифмические выражения: $$ x^2 - 4 = x - 2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ 3. Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 $$ 4. Проверим полученные корни с учетом ОДЗ ($x > 2$): - Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как при $x = 2$ выражение под знаком второго логарифма обращается в ноль ($x - 2 = 0$). - Корень $x_2 = -1$ не входит в ОДЗ, так как $-1 < 2$ (выражение $x - 2 = -1 - 2 = -3 < 0$). Следовательно, оба корня являются посторонними, и уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет (или $\varnothing$).