ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 9

9. 4) Решим уравнение: $$ \log_{3}(5-x)+\log_{3}(-1-x)=3 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} 5 - x > 0, \\ -1 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 5, \\ x < -1 \end{cases} $$ Отсюда получаем ОДЗ: $x < -1$. 2. Преобразуем левую часть уравнения, применив свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$: $$ \log_{3}((5-x)(-1-x)) = 3 $$ По определению логарифма: $$ (5-x)(-1-x) = 3^3 $$ Раскроем скобки в левой части уравнения: $$ -5 - 5x + x + x^2 = 27 $$ $$ x^2 - 4x - 5 = 27 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x^2 - 4x - 32 = 0 $$ 3. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2 $$ $$ x_1 = \frac{4 + 12}{2} = 8 $$ $$ x_2 = \frac{4 - 12}{2} = -4 $$ 4. Проверим полученные корни на принадлежность ОДЗ ($x < -1$): — значение $x_1 = 8$ не удовлетворяет условию $x < -1$ (посторонний корень); — значение $x_2 = -4$ удовлетворяет условию $-4 < -1$. Ответ: $-4$.