ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 13

$$\log_5(x^3 + x) - \log_5 x = \log_5 10$$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x^3 + x > 0, \\ x > 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое неравенство: $$x(x^2 + 1) > 0$$ Так как $x^2 + 1 > 0$ при любых действительных значениях $x$, знак выражения определяется знаком $x$: $$x > 0$$ Второе неравенство системы также дает $x > 0$. Таким образом, ОДЗ: $$x \in (0; +\infty)$$ 2. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}$: $$\log_5\left(\frac{x^3 + x}{x}\right) = \log_5 10$$ 3. Упростим выражение под знаком логарифма в левой части (при $x > 0$ деление корректно): $$\frac{x^3 + x}{x} = \frac{x(x^2 + 1)}{x} = x^2 + 1$$ Уравнение принимает вид: $$\log_5(x^2 + 1) = \log_5 10$$ 4. Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем подлогарифмические выражения: $$x^2 + 1 = 10$$ $$x^2 = 9$$ $$x_1 = 3, \quad x_2 = -3$$ 5. Проверим полученные корни по ОДЗ ($x > 0$): * $x_1 = 3 > 0$ — удовлетворяет ОДЗ; * $x_2 = -3 < 0$ — посторонний корень. Ответ: $3$