ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 18 / вариант 2 - 26

26. Решим логарифмическое неравенство: $$4 \log_{\frac{1}{4}} x > \frac{1}{2}$$ Разделим обе части неравенства на $4$: $$\log_{\frac{1}{4}} x > \frac{1}{8}$$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, то есть: $$x > 0$$ 2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию $\frac{1}{4}$: $$\frac{1}{8} = \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{8}}$$ Неравенство принимает вид: $$\log_{\frac{1}{4}} x > \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{8}}$$ 3. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{4} < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$x < \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{8}}$$ Преобразуем правую часть: $$\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{8}} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{\frac{1}{8}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{8}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$$ Получаем: $$x < \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$$ 4. С учетом ОДЗ ($x > 0$) запишем решение в виде двойного неравенства: $$0 < x < \frac{1}{\sqrt[4]{2}}$$ Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\right)$ (или $x \in \left(0; \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{8}}\right)$).