ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 18 / вариант 2 - 29

Решите уравнение: $$ \log_{\frac{1}{2}} x = x - 6 $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** $$ x > 0 $$ 2. **Исследование функций на монотонность:** Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения: - $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая функция с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она строго убывает на промежутке $(0; +\infty)$. - $g(x) = x - 6$ — линейная функция с угловым коэффициентом $k = 1 > 0$, следовательно, она строго возрастает на промежутке $(0; +\infty)$. Так как функция $f(x)$ строго убывает, а функция $g(x)$ строго возрастает на $(0; +\infty)$, то уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь не более одного корня. 3. **Нахождение корня:** Подберем значение переменной $x$ из области определения: При $x = 4$: - левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = -2$; - правая часть: $4 - 6 = -2$. Получили верное числовое равенство $-2 = -2$, значит, $x = 4$ является корнем уравнения. В силу монотонности функций других корней уравнение не имеет. Ответ: $4$