ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 17 / вариант 1 - 6

Представим числа под знаками логарифмов в виде степеней с основаниями $5$ и $3$: $$ \sqrt{125} = \sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}} $$ $$ 27 = 3^3 $$ Используя свойство логарифма степени $\log_a (b^p) = p \log_a b$, упростим каждое слагаемое: $$ \log_3 \sqrt{125} = \log_3 \left(5^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{3}{2} \log_3 5 $$ $$ \log_5 27 = \log_5 (3^3) = 3 \log_5 3 $$ В дидактических материалах в данном задании предполагается вычисление произведения логарифмов (знак умножения $\cdot$ часто ошибочно считывается как $+$). **1. Вычисление произведения логарифмов:** $$ \log_3 \sqrt{125} \cdot \log_5 27 = \frac{3}{2} \log_3 5 \cdot 3 \log_5 3 = \frac{9}{2} \cdot (\log_3 5 \cdot \log_5 3) $$ По формуле перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, откуда $\log_3 5 \cdot \log_5 3 = 1$. Следовательно: $$ \frac{9}{2} \cdot 1 = 4{,}5 $$ **2. Если в условии требуется найти сумму:** $$ \log_3 \sqrt{125} + \log_5 27 = \frac{3}{2} \log_3 5 + 3 \log_5 3 = \frac{3}{2} \log_3 5 + \frac{3}{\log_3 5} $$ Данное выражение не сводится к рациональному числу без использования приближённых значений. Ответ: $4{,}5$ (при умножении: $\log_3 \sqrt{125} \cdot \log_5 27 = 4{,}5$; в случае суммы: $\frac{3}{2} \log_3 5 + 3 \log_5 3$).