ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 2 - 3

Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{1}{3}x^3 - 3x \leqslant 0 $$ Умножим обе части неравенства на $3$: $$ x^3 - 9x \leqslant 0 $$ Разложим левую часть неравенства на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^2 - 9) \leqslant 0 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ x(x - 3)(x + 3) \leqslant 0 $$ Найдем нули функции $f(x) = x(x - 3)(x + 3)$: $$ x(x - 3)(x + 3) = 0 \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 3 $$ Отметим найденные точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\leqslant$), все точки будут закрашенными (входят в решение). Точки делят числовую прямую на четыре промежутка: $(-\infty; -3]$, $[-3; 0]$, $[0; 3]$, $[3; +\infty)$. Определим знаки выражения на каждом из интервалов: - при $x \in (3; +\infty)$ (возьмем $x = 4$): $4 \cdot (4 - 3) \cdot (4 + 3) = 4 \cdot 1 \cdot 7 > 0$ (знак «$+$»); - при $x \in [-3; 0]$ и $[0; 3]$ знаки чередуются, так как все корни имеют кратность $1$: - на $[0; 3]$ (возьмем $x = 1$): $1 \cdot (1 - 3) \cdot (1 + 3) = 1 \cdot (-2) \cdot 4 < 0$ (знак «$-$»); - на $[-3; 0]$ (возьмем $x = -1$): $(-1) \cdot (-1 - 3) \cdot (-1 + 3) = (-1) \cdot (-4) \cdot 2 > 0$ (знак «$+$»); - на $(-\infty; -3]$ (возьмем $x = -4$): $(-4) \cdot (-4 - 3) \cdot (-4 + 3) = (-4) \cdot (-7) \cdot (-1) < 0$ (знак «$-$»). Нам подходят промежутки, где выражение неположительно ($\leqslant 0$): $$ x \in (-\infty; -3] \cup [0; 3] $$ Ответ: $(-\infty; -3] \cup [0; 3]$