ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / метод интервалов / вариант 2 - 1

1. Решим неравенство методом интервалов: $$ (x - 3)(x + 1)(x + 4) < 0 $$ Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 3)(x + 1)(x + 4)$. Найдём нули функции: $$ (x - 3)(x + 1)(x + 4) = 0 $$ $$ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3 $$ $$ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -1 $$ $$ x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -4 $$ Нанесём полученные точки на числовую прямую. Так как неравенство строгое, точки $-4$, $-1$ и $3$ будут выколотыми. Они делят числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; -1)$, $(-1; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак функции $f(x)$ на каждом интервале: - на интервале $(3; +\infty)$ возьмём $x = 4$: $f(4) = (4 - 3)(4 + 1)(4 + 4) = 1 \cdot 5 \cdot 8 = 40 > 0$ (знак «$+$»); - на интервале $(-1; 3)$ возьмём $x = 0$: $f(0) = (0 - 3)(0 + 1)(0 + 4) = (-3) \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0$ (знак «$-$»); - на интервале $(-4; -1)$ возьмём $x = -2$: $f(-2) = (-2 - 3)(-2 + 1)(-2 + 4) = (-5) \cdot (-1) \cdot 2 = 10 > 0$ (знак «$+$»); - на интервале $(-\infty; -4)$ возьмём $x = -5$: $f(-5) = (-5 - 3)(-5 + 1)(-5 + 4) = (-8) \cdot (-4) \cdot (-1) = -32 < 0$ (знак «$-$»). Нам необходимо найти значения $x$, при которых выражение строго меньше нуля ($< 0$), то есть где функция принимает знак «$-$». Следовательно, решением неравенства являются промежутки: $x \in (-\infty; -4) \cup (-1; 3)$. Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-1; 3)$