ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 16 / вариант 2 - 9

9. 6) Вычислим значение выражения: $$ \frac{5}{3} \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[5]{8} - 3 \log_{\frac{2}{3}} 3 + \frac{1}{2} \log_{\frac{2}{3}} 36 $$ Преобразуем каждое слагаемое, используя свойства степеней и свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$: 1) Преобразуем первое слагаемое: Так как $\sqrt[5]{8} = 8^{\frac{1}{5}} = \left(2^3\right)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{5}}$, получаем: $$ \frac{5}{3} \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[5]{8} = \log_{\frac{2}{3}} \left(2^{\frac{3}{5}}\right)^{\frac{5}{3}} = \log_{\frac{2}{3}} 2^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = \log_{\frac{2}{3}} 2 $$ 2) Преобразуем второе слагаемое: $$ 3 \log_{\frac{2}{3}} 3 = \log_{\frac{2}{3}} 3^3 = \log_{\frac{2}{3}} 27 $$ 3) Преобразуем третье слагаемое: $$ \frac{1}{2} \log_{\frac{2}{3}} 36 = \log_{\frac{2}{3}} 36^{\frac{1}{2}} = \log_{\frac{2}{3}} \sqrt{36} = \log_{\frac{2}{3}} 6 $$ Подставим полученные выражения в исходный пример и применим свойства суммы и разности логарифмов $\log_a x - \log_a y + \log_a z = \log_a \frac{x \cdot z}{y}$: $$ \log_{\frac{2}{3}} 2 - \log_{\frac{2}{3}} 27 + \log_{\frac{2}{3}} 6 = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2 \cdot 6}{27}\right) = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{12}{27}\right) $$ Сократим дробь $\frac{12}{27}$ на $3$: $$ \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{4}{9}\right) $$ Представим дробь $\frac{4}{9}$ в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$: $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$. Тогда: $$ \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 2 $$ Ответ: 2