ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 16 / вариант 1 - 8

8. Вычислим значение выражения: $$ \log_{2} 0,8 - \log_{2} 1\frac{1}{8} + \log_{2} 22,5 $$ Представим десятичные и смешанные дроби в виде обыкновенных дробей: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$; $1\frac{1}{8} = \frac{9}{8}$; $22,5 = \frac{225}{10} = \frac{45}{2}$. Воспользуемся свойствами логарифмов (логарифм произведения и логарифм частного): $\log_a x - \log_a y + \log_a z = \log_a \left( \frac{x \cdot z}{y} \right)$. Объединим слагаемые под один знак логарифма: $$ \log_{2} \left( \frac{0,8 \cdot 22,5}{1\frac{1}{8}} \right) = \log_{2} \left( \frac{4}{5} : \frac{9}{8} \cdot \frac{45}{2} \right) = \log_{2} \left( \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{45}{2} \right) $$ Выполним вычисления под знаком логарифма: $$ \frac{4 \cdot 8 \cdot 45}{5 \cdot 9 \cdot 2} = \frac{32 \cdot 45}{45 \cdot 2} = \frac{32}{2} = 16 $$ Получаем: $$ \log_{2} 16 = 4 \quad (\text{так как } 2^4 = 16) $$ Ответ: 4