ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 2 - 44

Решим уравнение с параметром $a$: $$ \log_{4a-a^2-4}x = 1. $$ По определению логарифма $\log_b x$, основание $b$ и подлогарифмическое выражение $x$ должны удовлетворять условиям: $$ \begin{cases} b > 0, \\ b \neq 1, \\ x > 0. \end{cases} $$ В данном уравнении основанием логарифма является выражение: $$ b = 4a - a^2 - 4. $$ Преобразуем выражение в основании, вынеся знак минус и выделив полный квадрат: $$ 4a - a^2 - 4 = -(a^2 - 4a + 4) = -(a - 2)^2. $$ Так как для любого действительного числа $a$ справедливо неравенство $(a - 2)^2 \ge 0$, то: $$ -(a - 2)^2 \le 0 \quad \text{при всех } a \in \mathbb{R}. $$ Таким образом, основание логарифма $4a - a^2 - 4$ всегда неположительно: * при $a = 2$ основание равно нулю ($0$); * при $a \neq 2$ основание строго отрицательно. Следовательно, условие существования основания логарифма $b > 0$ не выполняется ни при каких действительных значениях параметра $a$. Значит, левая часть уравнения не определена ни для каких действительных $a$ и $x$. Уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет ни при каких значениях $a$ (или $x \in \varnothing$).