ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 1 - 39

39. 4) Решим уравнение: $$36^x + 6^x - 42 = 0$$ Так как $36 = 6^2$, представим $36^x$ в виде степени с основанием $6$: $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. Перепишем исходное уравнение: $$(6^x)^2 + 6^x - 42 = 0$$ Введем новую переменную: пусть $t = 6^x$, причем $t > 0$, так как показательная функция принимает только положительные значения. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$t^2 + t - 42 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 = 13^2$$ Корни квадратного уравнения: $$t_1 = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$$ $$t_2 = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$$ Выполним обратную замену: 1) При $t = 6$: $$6^x = 6^1$$ $$x = 1$$ 2) При $t = -7$: $$6^x = -7$$ Уравнение не имеет действительных корней, так как $6^x > 0$ при любых действительных $x$, а $-7 < 0$. Ответ: $1$