ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 1 - 38

38. Решим показательное уравнение: $$4^{8^{2x-1}} = 5$$ По определению логарифма (так как основание степени $4 > 0$, $4 \neq 1$, а правая часть $5 > 0$): $$8^{2x-1} = \log_4 5$$ Так как $5 > 4$, то $\log_4 5 > 1 > 0$, следовательно, правая часть положительна. Применим определение логарифма по основанию 8: $$2x - 1 = \log_8(\log_4 5)$$ Прибавим $1$ к обеим частям уравнения: $$2x = 1 + \log_8(\log_4 5)$$ Разделим обе части на 2: $$x = \frac{1 + \log_8(\log_4 5)}{2}$$ Полученное выражение можно также упростить, перейдя к логарифмам по основанию 2: $$\log_4 5 = \log_{2^2} 5 = \frac{1}{2} \log_2 5$$ $$\log_8(\log_4 5) = \log_{2^3}\left(\frac{1}{2} \log_2 5\right) = \frac{1}{3}\log_2\left(\frac{\log_2 5}{2}\right) = \frac{1}{3}(\log_2(\log_2 5) - \log_2 2) = \frac{1}{3}(\log_2(\log_2 5) - 1)$$ Тогда: $$x = \frac{1 + \frac{1}{3}(\log_2(\log_2 5) - 1)}{2} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\log_2(\log_2 5)}{2} = \frac{2 + \log_2(\log_2 5)}{6}$$ Ответ: $x = \frac{1 + \log_8(\log_4 5)}{2}$ (или $x = \frac{2 + \log_2(\log_2 5)}{6}$).