ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 23

Перепишем функцию в виде: $$ y = \frac{1}{\sqrt{a^x - a^{ax + 2}}} $$ Область определения функции задаётся условием строгого неравенства: подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным: $$ a^x - a^{ax + 2} > 0 \iff a^x > a^{ax + 2} $$ По условию параметр $a > 0$. Рассмотрим возможные случаи для значения основания $a$: 1. Если $a = 1$, то получаем: $$ 1^x > 1^{x + 2} \iff 1 > 1 $$ Неравенство не имеет решений. 2. Если $a > 1$, то показательная функция с основанием $a$ возрастает: $$ a^x > a^{ax + 2} \iff x > ax + 2 \iff x(1 - a) > 2 $$ Так как $a > 1$, то $1 - a < 0$. Разделив обе части неравенства на отрицательное число $(1 - a)$, меняем знак неравенства: $$ x < \frac{2}{1 - a} $$ Поскольку $1 - a < 0$, дробь $\frac{2}{1 - a} < 0$. В этом случае область определения представляет собой промежуток $\left(-\infty; \frac{2}{1 - a}\right)$, содержащий только отрицательные числа. В ней нет ни одного натурального числа, что противоречит условию задачи. 3. Если $0 < a < 1$, то показательная функция с основанием $a$ убывает: $$ a^x > a^{ax + 2} \iff x < ax + 2 \iff x(1 - a) < 2 $$ Так как $0 < a < 1$, то $1 - a > 0$. Разделим обе части неравенства на положительное число $(1 - a)$: $$ x < \frac{2}{1 - a} $$ Область определения функции: $$ D(y) = \left(-\infty; \frac{2}{1 - a}\right) $$ По условию задачи: - В области определения должны быть двузначные натуральные числа. Наименьшим двузначным числом является $10$. Значит, число $10$ обязательно должно входить в промежуток $D(y)$: $$ 10 < \frac{2}{1 - a} $$ - В области определения не должно быть ни одного трёхзначного натурального числа. Наименьшим трёхзначным числом является $100$. Значит, число $100$ и все последующие не должны попадать в $D(y)$, откуда: $$ \frac{2}{1 - a} \le 100 $$ Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $$ 10 < \frac{2}{1 - a} \le 100 $$ Так как $1 - a > 0$, разделим все части неравенства на 2: $$ 5 < \frac{1}{1 - a} \le 50 $$ Перейдём к обратным величинам (при этом знаки неравенств меняются на противоположные): $$ \frac{1}{50} \le 1 - a < \frac{1}{5} $$ $$ 0{,}02 \le 1 - a < 0{,}2 $$ Вычтем $1$ из всех частей неравенства: $$ -0{,}98 \le -a < -0{,}8 $$ Умножим на $-1$, изменив знаки неравенств: $$ 0{,}8 < a \le 0{,}98 $$ Ответ: $a \in (0{,}8; 0{,}98]$.