ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / КР-3 / вариант 2 - 4

1) Решим показательное неравенство: $$ (3\sqrt{3})^{x+6} > \frac{1}{9} $$ Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием $3$. Для левой части: $$ 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} $$ $$ (3\sqrt{3})^{x+6} = \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{x+6} = 3^{\frac{3}{2}(x+6)} $$ Для правой части: $$ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $$ Подставим полученные выражения в неравенство: $$ 3^{\frac{3}{2}(x+6)} > 3^{-2} $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, и при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $$ \frac{3}{2}(x+6) > -2 $$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ 3(x + 6) > -4 $$ $$ 3x + 18 > -4 $$ $$ 3x > -22 $$ $$ x > -\frac{22}{3} $$ $$ x > -7\frac{1}{3} $$ Таким образом, $x \in \left(-7\frac{1}{3}; +\infty\right)$. *(Примечание: если в условии опечатка и имелся в виду кубический корень $\sqrt[3]{3}$, то неравенство принимает вид $(3^{\frac{1}{3}})^{x+6} > 3^{-2}$, откуда $\frac{x+6}{3} > -2 \iff x + 6 > -6 \iff x > -12$, то есть $x \in (-12; +\infty)$).* **Ответ:** $x \in \left(-7\frac{1}{3}; +\infty\right)$. --- 2) Решим показательное неравенство: $$ \left(1\frac{2}{7}\right)^{x^2 - 4} \leqslant 1 $$ Переведём смешанную дробь в неправильную: $$ 1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7} $$ Представим число $1$ в правой части как степень с основанием $\frac{9}{7}$: $$ 1 = \left(\frac{9}{7}\right)^0 $$ Получаем: $$ \left(\frac{9}{7}\right)^{x^2 - 4} \leqslant \left(\frac{9}{7}\right)^0 $$ Так как основание степени $\frac{9}{7} > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при сравнении показателей: $$ x^2 - 4 \leqslant 0 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - 2)(x + 2) \leqslant 0 $$ Корнями выражения в левой части являются числа $x = -2$ и $x = 2$. По методу интервалов (или свойству квадратичной функции, график которой — парабола с ветвями вверх) решением неравенства является отрезок между корнями: $$ -2 \leqslant x \leqslant 2 $$ Таким образом, $x \in [-2; 2]$. **Ответ:** $x \in [-2; 2]$.