ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / подготовка к экзамену - 1

1) Решим неравенство: $$ \frac{0,2^x - 0,008}{x^2 - 10x + 25} \leqslant 0 $$ Преобразуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x - 5)^2 \geqslant 0$, причем равенство нулю достигается только при $x = 5$. Значит, при всех $x \neq 5$ знаменатель строго положителен: $(x - 5)^2 > 0$. Дробь с положительным знаменателем неположительна тогда и только тогда, когда её числитель неположителен. Получаем равносильную систему: $$ \begin{cases} 0,2^x - 0,008 \leqslant 0, \\ x - 5 \neq 0. \end{cases} $$ Запишем число $0,008$ в виде степени с основанием $0,2$: $0,008 = 0,2^3$. Тогда первое неравенство принимает вид: $0,2^x \leqslant 0,2^3$. Так как основание степени $0 < 0,2 < 1$, показательная функция $y = 0,2^t$ убывает, следовательно, знак неравенства меняется на противоположный: $x \geqslant 3$. С учётом условия $x \neq 5$ получаем: $3 \leqslant x < 5$ или $x > 5$. **Ответ:** $[3; 5) \cup (5; +\infty)$ (или $3 \leqslant x < 5$, $x > 5$). --- 2) Решим неравенство: $$ \frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} \geqslant 0 $$ Преобразуем числитель дроби, применив формулу квадрата суммы: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$. Тогда неравенство примет вид: $$ \frac{(x + 3)^2}{2^x - 4} \geqslant 0 $$ Выражение $(x + 3)^2 \geqslant 0$ при всех действительных значениях $x$. Рассмотрим два возможных случая выполнения нестрогого неравенства: 1. Числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $(x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$. Проверим знаменатель при $x = -3$: $2^{-3} - 4 = \frac{1}{8} - 4 = -\frac{31}{8} \neq 0$. Значит, значение $x = -3$ является решением. 2. Дробь строго больше нуля: Так как при $x \neq -3$ числитель строго положителен ($(x + 3)^2 > 0$), дробь будет больше нуля тогда и только тогда, когда знаменатель строго больше нуля: $$ 2^x - 4 > 0 $$ $$ 2^x > 4 $$ $$ 2^x > 2^2 $$ Так как основание $2 > 1$, показательная функция $y = 2^t$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 2$. Точка $x = -3$ не принадлежит промежутку $(2; +\infty)$, поэтому дополнительных исключений делать не нужно. Объединяя оба случая, получаем: $x = -3$ и $x > 2$. **Ответ:** $\{-3\} \cup (2; +\infty)$ (или $x = -3$, $x > 2$).