ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 14 / вариант 2 - 4

Решим систему уравнений с заданным дополнительным условием: $$ \left\{ \begin{array}{l} (13^x)^y = 13^{-8} \\ \left( \dfrac{3}{2} \right)^x \cdot \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-y} = \dfrac{4}{9} \end{array} \right. $$ при условии $\pi^x > \pi^y$. **1. Упростим первое уравнение системы:** Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $$ 13^{xy} = 13^{-8} $$ Так как основания равны ($13 > 0, 13 \neq 1$), приравниваем показатели степеней: $$ xy = -8 $$ **2. Упростим второе уравнение системы:** Приведем все степени к общему основанию $\dfrac{3}{2}$: $$ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-y} = \left( \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-1} \right)^{-y} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^y $$ $$ \dfrac{4}{9} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-2} $$ Подставим полученные выражения во второе уравнение: $$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^x \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^y = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-2} $$ $$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+y} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-2} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели: $$ x + y = -2 $$ **3. Решим полученную систему уравнений:** $$ \left\{ \begin{array}{l} x + y = -2 \\ xy = -8 \end{array} \right. $$ Выразим $y$ из первого уравнения: $y = -2 - x$, и подставим во второе уравнение: $$ x(-2 - x) = -8 $$ $$ -x^2 - 2x + 8 = 0 $$ $$ x^2 + 2x - 8 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета или через дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2 $$ $$ x_1 = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \dfrac{-2 - 6}{2} = -4 $$ Найдем соответствующие значения $y$: 1) Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -2 - 2 = -4$. 2) Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -2 - (-4) = 2$. Таким образом, система уравнений имеет две пары решений: $(2; -4)$ и $(-4; 2)$. **4. Проверим условие $\pi^x > \pi^y$:** Так как основание степени $\pi \approx 3{,}14 > 1$, показательная функция $f(t) = \pi^t$ является строго возрастающей. Следовательно, неравенство $\pi^x > \pi^y$ равносильно неравенству: $$ x > y $$ Проверим найденные пары: * Для пары $(2; -4)$: $2 > -4$ — неравенство верно; * Для пары $(-4; 2)$: $-4 > 2$ — неравенство неверно. Условию задачи удовлетворяет только пара чисел $x = 2$, $y = -4$. Ответ: $(2; -4)$.