ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 14 / вариант 2 - 2

$$2.\boxed{6}\quad\left\{ \begin{array}{l} 5^{x} \cdot 3^{y} = 135, \\ 3^{y} - 5^{x+1} = 2. \end{array} \right.$$ Используем свойство степени $5^{x+1} = 5 \cdot 5^x$ и перепишем систему: $$ \left\{ \begin{array}{l} 5^{x} \cdot 3^{y} = 135, \\ 3^{y} - 5 \cdot 5^{x} = 2. \end{array} \right. $$ Решим систему методом замены переменной. Пусть $u = 5^x$ и $v = 3^y$, причём $u > 0$ и $v > 0$. Получаем систему алгебраических уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} u \cdot v = 135, \\ v - 5u = 2. \end{array} \right. $$ Выразим $v$ из второго уравнения: $$ v = 5u + 2. $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ u(5u + 2) = 135, $$ $$ 5u^2 + 2u - 135 = 0. $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-135) = 4 + 2700 = 2704 = 52^2, $$ $$ u_1 = \frac{-2 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5, $$ $$ u_2 = \frac{-2 - 52}{2 \cdot 5} = \frac{-54}{10} = -5{,}4. $$ Так как $u > 0$, значение $u_2 = -5{,}4$ не подходит. Следовательно, $u = 5$. Найдём значение $v$: $$ v = 5 \cdot 5 + 2 = 27. $$ Выполним обратную замену: $$ 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1, $$ $$ 3^y = 27 \implies 3^y = 3^3 \implies y = 3. $$ Ответ: $(1; 3)$.