ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 14 / вариант 2 - 3

Решим систему: $$ \begin{cases} 7^{x-2} < 0,4, \\ \left(\frac{1}{-2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 + x}. \end{cases} $$ 1. Решим показательное уравнение системы: $$ \left(\frac{1}{-2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 + x} $$ Так как показатель степени $6$ является чётным числом, то: $$ \left(\frac{1}{-2}\right)^6 = \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^6 $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 + x} $$ Поскольку основания степеней равны и отличны от единицы, приравниваем показатели: $$ x^2 + x = 6 $$ $$ x^2 + x - 6 = 0 $$ По теореме Виета находим корни квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$. 2. Проверим, удовлетворяют ли найденные значения первому неравенству системы $7^{x-2} < 0,4$: - При $x = 2$: $$ 7^{2-2} < 0,4 \implies 7^0 < 0,4 \implies 1 < 0,4 $$ Получили неверное числовое неравенство, значит, $x = 2$ не является решением системы. - При $x = -3$: $$ 7^{-3-2} < 0,4 \implies 7^{-5} < 0,4 \implies \frac{1}{7^5} < 0,4 $$ Так как $\frac{1}{7^5} = \frac{1}{16807}$, а $\frac{1}{16807} < \frac{4}{10}$, неравенство верно. Значит, $x = -3$ является решением системы. Ответ: $-3$.