ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 13 / вариант 2 - 9

Решим неравенство: $$ 3^x \leq 4 - x^3 $$ Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях неравенства: $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 4 - x^3$. 1. Обе функции определены на всей числовой прямой: $D(f) = \mathbb{R}$, $D(g) = \mathbb{R}$. 2. Исследуем функции на монотонность: - Функция $f(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей области определения. - Функция $g(x) = 4 - x^3$ строго убывает на всей области определения, так как функция $y = x^3$ строго возрастает на $\mathbb{R}$. 3. Найдем корень уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $3^x = 4 - x^3$. Подбором находим: при $x = 1$ $$ f(1) = 3^1 = 3 $$ $$ g(1) = 4 - 1^3 = 3 $$ Равенство $3 = 3$ выполняется, значит, $x = 1$ — корень уравнения. 4. Так как функция $f(x)$ строго возрастает, а функция $g(x)$ строго убывает, то уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня. Следовательно, $x = 1$ — единственный корень. 5. Сравним значения функций: - При $x \leq 1$ в силу монотонности получаем: $$ f(x) \leq f(1) = 3 \quad \text{и} \quad g(x) \geq g(1) = 3 $$ Отсюда следует, что $f(x) \leq g(x)$, то есть $3^x \leq 4 - x^3$. - При $x > 1$: $$ f(x) > f(1) = 3 \quad \text{и} \quad g(x) < g(1) = 3 $$ Отсюда следует, что $f(x) > g(x)$, и неравенство не выполняется. Таким образом, решением неравенства являются все значения $x \leq 1$. Ответ: $x \in (-\infty; 1]$