ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 13 / вариант 2 - 8

8. Для графического решения неравенства $$ \left( \frac{1}{2} \right)^x > 2x + 4 $$ рассмотрим две функции: $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ и $y = 2x + 4$. 1. Построим график показательной функции $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$. Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Составим таблицу значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $4$ | $2$ | $1$ | $0{,}5$ | 2. Построим график линейной функции $y = 2x + 4$. Графиком является прямая линия, функция строго возрастает. Составим таблицу значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $2$ | $4$ | 3. Найдём точку пересечения графиков. При $x = -1$: $$ \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = 2 $$ $$ 2 \cdot (-1) + 4 = 2 $$ Значения функций совпадают, следовательно, графики пересекаются в точке $(-1; 2)$. Так как функция $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ строго убывает, а $y = 2x + 4$ строго возрастает, других точек пересечения нет. 4. Исходное неравенство $\left( \frac{1}{2} \right)^x > 2x + 4$ выполняется при тех значениях переменной $x$, при которых график показательной функции расположен строго выше графика прямой линии. По построенным графикам видно, что график функции $y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ лежит выше графика функции $y = 2x + 4$ левее точки пересечения, то есть при $x < -1$. Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.