ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 12 / вариант 2 - 8

8. Решим уравнение: $$4^{25^x} + 3 \cdot 5^x + 2 = 0$$ Оценим слагаемые в левой части уравнения при любом действительном значении $x$: 1. Так как показательная функция принимает только строго положительные значения, то $25^x > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Тогда: $$4^{25^x} > 4^0 = 1$$ 2. Аналогично, $5^x > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, следовательно: $$3 \cdot 5^x > 0$$ 3. Число $2 > 0$. Сумма трех положительных слагаемых строго больше нуля при любых действительных $x$: $$4^{25^x} + 3 \cdot 5^x + 2 > 1 + 0 + 2 = 3 > 0$$ Так как левая часть уравнения всегда строго больше нуля, она не может быть равна $0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней. --- *Примечание.* Если в условии содержится опечатка и первое слагаемое представляет собой произведение $4 \cdot 25^x$, то есть уравнение имеет вид: $$4 \cdot 25^x + 3 \cdot 5^x + 2 = 0$$ Так как $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$, уравнение принимает вид: $$4 \cdot (5^x)^2 + 3 \cdot 5^x + 2 = 0$$ Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$4t^2 + 3t + 2 = 0$$ Найдем его дискриминант: $$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 9 - 32 = -23$$ Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней, и в этом случае уравнение также не имеет решений. **Ответ:** нет корней.