ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 12 / вариант 2 - 11

11. Решим показательное уравнение: $$ 3 \cdot 4^x - 11 \cdot 2^x = 4 $$ Так как $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$, перепишем уравнение в виде: $$ 3 \cdot (2^x)^2 - 11 \cdot 2^x - 4 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = 2^x$, причем $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 3t^2 - 11t - 4 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2 $$ Вычислим корни уравнения: $$ t_1 = \frac{11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{11 - 13}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} $$ Условию $t > 0$ удовлетворяет только корень $t = 4$ (значение $t = -\frac{1}{3}$ не подходит, так как $2^x > 0$ при любых действительных $x$). Вернемся к исходной переменной: $$ 2^x = 4 $$ $$ 2^x = 2^2 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$.