ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 12 / вариант 2 - 10

10. Решим показательное уравнение: $$ \left( \frac{1}{4} \cdot 4^x \right)^x = 2^{2x+6} $$ Преобразуем выражение в скобках в левой части уравнения, используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием: $$ \frac{1}{4} \cdot 4^x = 4^{-1} \cdot 4^x = 4^{x-1} $$ Подставим полученное выражение в уравнение и применим свойство возведения степени в степень: $$ (4^{x-1})^x = 2^{2x+6} $$ $$ 4^{x(x-1)} = 2^{2x+6} $$ $$ 4^{x^2 - x} = 2^{2x+6} $$ Приведем обе части уравнения к одинаковому основанию $4$, представив правую часть как степень с основанием $2^2 = 4$: $$ 2^{2x+6} = 2^{2(x+3)} = (2^2)^{x+3} = 4^{x+3} $$ Получаем: $$ 4^{x^2 - x} = 4^{x+3} $$ Так как основания степеней равны и отличны от единицы, приравняем их показатели: $$ x^2 - x = x + 3 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $$ $$ x_1 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ Ответ: $-1$; $3$.