ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 12 / вариант 2 - 7

**7. 4)** Решите уравнение: $$ 9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0 $$ **Решение:** Представим $9^x$ как степень с основанием $3$: $$ 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 - 10t + 9 = 0 $$ Найдем корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $$ $$ t_1 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к исходной переменной: 1) При $t_1 = 1$: $$ 3^x = 1 $$ $$ 3^x = 3^0 $$ $$ x_1 = 0 $$ 2) При $t_2 = 9$: $$ 3^x = 9 $$ $$ 3^x = 3^2 $$ $$ x_2 = 2 $$ **Ответ:** $0; \, 2$