ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / решение квадратных неравенств / вариант 1 - 8

8. Рассмотрим квадратный трёхчлен в левой части неравенства: $$ f(x) = x^2 - 2x + q $$ Коэффициент при старшем члене $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычислим дискриминант квадратного трёхчлена: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 4 - 4q = 4(1 - q) $$ По условию $q > 1$. Тогда: $$ 1 - q < 0 \implies D = 4(1 - q) < 0 $$ Так как коэффициент $a > 0$ и дискриминант $D < 0$, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, а график функции $y = x^2 - 2x + q$ целиком расположен выше оси абсцисс. Это означает, что при любом действительном значении $x$ выполняется неравенство: $$ x^2 - 2x + q > 0 $$ Таким образом, при $q > 1$ решениями неравенства действительно являются все значения $x \in (-\infty; +\infty)$. Что и требовалось доказать.