ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / задание для интересующихся математикой - 8

8. а) Решим неравенство: $$ 2\sqrt{x^2 + x} - x > x^2 - 8 $$ Перенесем слагаемые, содержащие переменную без знака корня, в правую часть: $$ 2\sqrt{x^2 + x} > x^2 + x - 8 $$ Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 + x}$, причем $t \ge 0$. Тогда $x^2 + x = t^2$, и неравенство принимает вид: $$ 2t > t^2 - 8 $$ $$ t^2 - 2t - 8 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 8 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = -2$, $t_2 = 4$. Решением неравенства относительно $t$ является интервал: $$ -2 < t < 4 $$ С учетом условия $t \ge 0$ получаем: $$ 0 \le t < 4 $$ Вернемся к исходной переменной: $$ 0 \le \sqrt{x^2 + x} < 4 $$ Данное двойное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 + x \ge 0 \\ x^2 + x < 16 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1. $x^2 + x \ge 0$ $$ x(x + 1) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty) $$ 2. $x^2 + x - 16 < 0$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 16 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 1 + 64 = 65 $$ $$ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{2} $$ Следовательно, решением второго неравенства является интервал: $$ -\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x < \frac{\sqrt{65} - 1}{2} $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty) \\ x \in \left(-\frac{1 + \sqrt{65}}{2}; \frac{\sqrt{65} - 1}{2}\right) \end{cases} $$ Так как $\sqrt{65} \approx 8{,}06$, то: $$ -\frac{1 + \sqrt{65}}{2} \approx -4{,}53 < -1, \quad \frac{\sqrt{65} - 1}{2} \approx 3{,}53 > 0 $$ Получаем: $$ x \in \left(-\frac{1 + \sqrt{65}}{2}; -1\right] \cup \left[0; \frac{\sqrt{65} - 1}{2}\right) $$ Ответ: $-\frac{1 + \sqrt{65}}{2} < x \le -1, \; 0 \le x < \frac{\sqrt{65} - 1}{2}$. --- б) Решим неравенство: $$ \sqrt{x^2 + 2x} - x^2 > 2x - 20 $$ Перенесем слагаемые в правую часть: $$ \sqrt{x^2 + 2x} > x^2 + 2x - 20 $$ Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 2x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x^2 + 2x = t^2$, и неравенство принимает вид: $$ t > t^2 - 20 $$ $$ t^2 - t - 20 < 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - t - 20 = 0$: $t_1 = -4$, $t_2 = 5$. Решением неравенства относительно $t$ является: $$ -4 < t < 5 $$ Учитывая, что $t \ge 0$, получаем: $$ 0 \le t < 5 $$ Выполним обратную замену: $$ 0 \le \sqrt{x^2 + 2x} < 5 $$ Данное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 + 2x \ge 0 \\ x^2 + 2x < 25 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1. $x^2 + 2x \ge 0$ $$ x(x + 2) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty) $$ 2. $x^2 + 2x - 25 < 0$ Выделим полный квадрат: $$ (x + 1)^2 - 1 - 25 < 0 $$ $$ (x + 1)^2 < 26 $$ $$ -\sqrt{26} < x + 1 < \sqrt{26} $$ $$ -1 - \sqrt{26} < x < -1 + \sqrt{26} $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty) \\ x \in (-1 - \sqrt{26}; -1 + \sqrt{26}) \end{cases} $$ Так как $\sqrt{26} \approx 5{,}1$, то: $$ -1 - \sqrt{26} \approx -6{,}1 < -2, \quad -1 + \sqrt{26} \approx 4{,}1 > 0 $$ Получаем: $$ x \in (-1 - \sqrt{26}; -2] \cup [0; -1 + \sqrt{26}) $$ Ответ: $-1 - \sqrt{26} < x \le -2, \; 0 \le x < -1 + \sqrt{26}$.