ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / задание для интересующихся математикой - 11

**11.** **а)** Решим неравенство: $$ \sqrt{\frac{3}{3x^2 - 2x - 1}} \geqslant \frac{1}{2 - x} $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Так как в числителе стоит положительное число $3$, знаменатель подкоренного выражения должен быть строго больше нуля: $$ 3x^2 - 2x - 1 > 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $3x^2 - 2x - 1 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 $$ $$ x_1 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1 $$ Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при: $$ x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup (1; +\infty) $$ Также знаменатель правой части не должен обращаться в ноль: $2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$. 2. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства. *Случай 1.* Правая часть строго меньше нуля: $$ \frac{1}{2 - x} < 0 \iff 2 - x < 0 \iff x > 2 $$ При $x > 2$ левая часть неравенства определена (так как интервал $(2; +\infty)$ целиком входит в ОДЗ) и принимает строго положительные значения, а правая часть отрицательна. Неравенство вида «положительное число $\geqslant$ отрицательное число» верно всегда. Значит, все $x \in (2; +\infty)$ являются решениями. *Случай 2.* Правая часть строго больше нуля: $$ \frac{1}{2 - x} > 0 \iff 2 - x > 0 \iff x < 2 $$ В этом случае обе части неравенства положительны, поэтому возведём обе части в квадрат: $$ \frac{3}{3x^2 - 2x - 1} \geqslant \frac{1}{(2 - x)^2} $$ Поскольку в рассматриваемой области $3x^2 - 2x - 1 > 0$ и $(2 - x)^2 > 0$, домножим обе части на $(3x^2 - 2x - 1)(2 - x)^2$: $$ 3(2 - x)^2 \geqslant 3x^2 - 2x - 1 $$ $$ 3(4 - 4x + x^2) \geqslant 3x^2 - 2x - 1 $$ $$ 12 - 12x + 3x^2 \geqslant 3x^2 - 2x - 1 $$ $$ 12 - 12x \geqslant -2x - 1 $$ $$ -10x \geqslant -13 $$ $$ x \leqslant \frac{13}{10} $$ С учётом условий второго случая и ОДЗ составим систему: $$ \begin{cases} x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup (1; +\infty) \\ x < 2 \\ x \leqslant \frac{13}{10} \end{cases} $$ Пересекая эти промежутки, получаем: $$ x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup \left(1; \frac{13}{10}\right] $$ 3. Объединим решения, полученные в обоих случаях: $$ x < -\frac{1}{3}, \quad 1 < x \leqslant \frac{13}{10}, \quad x > 2 $$ Ответ: $x < -\frac{1}{3}, \; 1 < x \leqslant \frac{13}{10}, \; x > 2$. --- **б)** Решим неравенство: $$ \sqrt{\frac{1}{x^2 - 4x + 3}} \geqslant \frac{2}{1 + 2x} $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $$ x^2 - 4x + 3 > 0 $$ $$ (x - 1)(x - 3) > 0 \iff x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) $$ Также знаменатель правой части неравенства не должен быть равен нулю: $1 + 2x \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$. 2. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства. *Случай 1.* Правая часть строго меньше нуля: $$ \frac{2}{1 + 2x} < 0 \iff 1 + 2x < 0 \iff x < -\frac{1}{2} $$ Так как интервал $\left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)$ целиком содержится в интервале ОДЗ $(-\infty; 1)$, при этих значениях $x$ левая часть определена и положительна, а правая отрицательна. Неравенство выполняется автоматически. Значит, все $x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)$ являются решениями. *Случай 2.* Правая часть строго больше нуля: $$ \frac{2}{1 + 2x} > 0 \iff 1 + 2x > 0 \iff x > -\frac{1}{2} $$ Обе части неравенства положительны, возведём их в квадрат: $$ \frac{1}{x^2 - 4x + 3} \geqslant \frac{4}{(1 + 2x)^2} $$ Умножим обе части на положительное выражение $(x^2 - 4x + 3)(1 + 2x)^2$: $$ (1 + 2x)^2 \geqslant 4(x^2 - 4x + 3) $$ $$ 1 + 4x + 4x^2 \geqslant 4x^2 - 16x + 12 $$ $$ 1 + 4x \geqslant -16x + 12 $$ $$ 20x \geqslant 11 $$ $$ x \geqslant \frac{11}{20} $$ С учётом условий второго случая и ОДЗ составим систему: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \\ x > -\frac{1}{2} \\ x \geqslant \frac{11}{20} \end{cases} $$ Так как $\frac{11}{20} > -\frac{1}{2}$, система упрощается до: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \\ x \geqslant \frac{11}{20} \end{cases} $$ Пересекая промежутки, получаем: $$ x \in \left[\frac{11}{20}; 1\right) \cup (3; +\infty) $$ 3. Объединим решения, полученные в обоих случаях: $$ x < -\frac{1}{2}, \quad \frac{11}{20} \leqslant x < 1, \quad x > 3 $$ Ответ: $x < -\frac{1}{2}, \; \frac{11}{20} \leqslant x < 1, \; x > 3$.