ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / задание для интересующихся математикой - 10

а) Решим неравенство: $$\sqrt{x^2 - 10} + |x - 3| > x - 3$$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$x^2 - 10 \ge 0 \iff (x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) \ge 0$$ Отсюда ОДЗ: $$x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$$ Так как $\sqrt{10} \approx 3{,}16$, граничная точка раскрытия модуля $x = 3$ не входит в ОДЗ, поскольку лежит в интервале $(-\sqrt{10}; \sqrt{10})$. Таким образом, на всей ОДЗ знак подмодульного выражения $x - 3$ не меняется внутри промежутков ОДЗ. 2. Рассмотрим два возможных случая в соответствии с ОДЗ: **Случай 1:** $x \ge \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10} > 3$, то $x > 3$, и модуль раскрывается со знаком «плюс»: $$|x - 3| = x - 3$$ Подставим это в исходное неравенство: $$\sqrt{x^2 - 10} + x - 3 > x - 3$$ $$\sqrt{x^2 - 10} > 0$$ Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому неравенство $\sqrt{x^2 - 10} > 0$ выполняется при всех значениях $x$, где подкоренное выражение строго больше нуля: $$x^2 - 10 > 0 \iff x \in (-\infty; -\sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}; +\infty)$$ С учетом условия рассматриваемого случая ($x \ge \sqrt{10}$) получаем: $$x > \sqrt{10}$$ **Случай 2:** $x \le -\sqrt{10}$. Так как $-\sqrt{10} < 3$, то $x < 3$, и модуль раскрывается со знаком «минус»: $$|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$$ Подставим это в неравенство: $$\sqrt{x^2 - 10} + 3 - x > x - 3$$ $$\sqrt{x^2 - 10} > 2x - 6$$ Оценим правую часть при $x \le -\sqrt{10}$: $$2x - 6 \le 2(-\sqrt{10}) - 6 < 0$$ Левая часть неравенства по определению корня неотрицательна: $\sqrt{x^2 - 10} \ge 0$, а правая часть строго отрицательна при всех $x \le -\sqrt{10}$. Неотрицательное число всегда строго больше отрицательного, следовательно, неравенство верно при всех значениях $x$ из данного промежутка: $$x \le -\sqrt{10}$$ 3. Объединяем решения обоих случаев: $$x \le -\sqrt{10} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{10}$$ *Примечание.* Приведенный в дидактических материалах ответ ($x \le \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$, $x > \frac{22}{7}$) является следствием опечатки в сборнике; точным решением записанного неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -\sqrt{10}] \cup (\sqrt{10}; +\infty)$. **Ответ:** $x \le -\sqrt{10}$, $x > \sqrt{10}$ (или $x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup (\sqrt{10}; +\infty)$). --- б) Решим неравенство: $$\sqrt{x^2 - 5} + |x - 2| > x - 2$$ 1. Найдем ОДЗ: $$x^2 - 5 \ge 0 \iff (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \ge 0$$ $$x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; +\infty)$$ Так как $\sqrt{5} \approx 2{,}24 > 2$, точка $x = 2$ лежит в промежутке $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$, не входящем в ОДЗ. 2. Рассмотрим два случая: **Случай 1:** $x \ge \sqrt{5}$. Так как $x > 2$, модуль раскрывается со знаком «плюс»: $$|x - 2| = x - 2$$ Неравенство принимает вид: $$\sqrt{x^2 - 5} + x - 2 > x - 2$$ $$\sqrt{x^2 - 5} > 0$$ Корень строго больше нуля при всех $x^2 - 5 > 0$. Пересекая с условием $x \ge \sqrt{5}$, получаем: $$x > \sqrt{5}$$ **Случай 2:** $x \le -\sqrt{5}$. Так как $x < 2$, модуль раскрывается со знаком «минус»: $$|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$$ Неравенство принимает вид: $$\sqrt{x^2 - 5} + 2 - x > x - 2$$ $$\sqrt{x^2 - 5} > 2x - 4$$ При $x \le -\sqrt{5}$: $$2x - 4 \le 2(-\sqrt{5}) - 4 < 0$$ Так как левая часть неотрицательна ($\sqrt{x^2 - 5} \ge 0$), а правая часть строго отрицательна ($2x - 4 < 0$), неравенство выполняется тождественно для всех $x$ из этого промежутка: $$x \le -\sqrt{5}$$ 3. Объединяем решения обоих случаев: $$x \le -\sqrt{5} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{5}$$ *Примечание.* Приведенный в ответах сборника результат ($x \le \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$, $x > \frac{11}{5}$) также относится к опечатке в условии первоисточника; математически верным решением данного неравенства является $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup (\sqrt{5}; +\infty)$. **Ответ:** $x \le -\sqrt{5}$, $x > \sqrt{5}$ (или $x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup (\sqrt{5}; +\infty)$).