ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / КР-2 / вариант 1 - 3

1) $\sqrt{1 - x} = 3$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{1 - x})^2 = 3^2 $$ $$ 1 - x = 9 $$ $$ -x = 9 - 1 $$ $$ -x = 8 $$ $$ x = -8 $$ Проверка: $\sqrt{1 - (-8)} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$ — верно. Ответ: $-8$. 2) $\sqrt{x + 2} = \sqrt{3 - x}$ ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 3 \end{cases} \iff -2 \le x \le 3 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ x + 2 = 3 - x $$ $$ x + x = 3 - 2 $$ $$ 2x = 1 $$ $$ x = 0{,}5 $$ Значение $x = 0{,}5$ принадлежит отрезку $[-2; 3]$. Проверка: $\sqrt{0{,}5 + 2} = \sqrt{2{,}5}$ и $\sqrt{3 - 0{,}5} = \sqrt{2{,}5}$ — верно. Ответ: $0{,}5$. 3) $\sqrt{1 - x} = x + 1$ Так как левая часть уравнения неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Возведём обе части уравнения в квадрат при условии $x \ge -1$: $$ 1 - x = (x + 1)^2 $$ $$ 1 - x = x^2 + 2x + 1 $$ $$ x^2 + 2x + x + 1 - 1 = 0 $$ $$ x^2 + 3x = 0 $$ $$ x(x + 3) = 0 $$ Отсюда: $x_1 = 0$; $x_2 = -3$. С учётом условия $x \ge -1$: корень $x = -3$ является посторонним ($-3 < -1$). Проверка для $x = 0$: $\sqrt{1 - 0} = 0 + 1$ $\sqrt{1} = 1$ — верно. Ответ: $0$. 4) $\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x + 6} = 1$ Перенесём слагаемое $-\sqrt{x + 6}$ в правую часть: $$ \sqrt{2x + 5} = 1 + \sqrt{x + 6} $$ ОДЗ уравнения: $$ \begin{cases} 2x + 5 \ge 0 \\ x + 6 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2{,}5 \\ x \ge -6 \end{cases} \iff x \ge -2{,}5 $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат: $$ (\sqrt{2x + 5})^2 = (1 + \sqrt{x + 6})^2 $$ $$ 2x + 5 = 1 + 2\sqrt{x + 6} + x + 6 $$ $$ 2x + 5 = x + 7 + 2\sqrt{x + 6} $$ Изолируем корень: $$ 2x - x + 5 - 7 = 2\sqrt{x + 6} $$ $$ x - 2 = 2\sqrt{x + 6} $$ Левая часть должна быть неотрицательной, так как корень неотрицателен: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$. Возведём обе части уравнения в квадрат при условии $x \ge 2$: $$ (x - 2)^2 = (2\sqrt{x + 6})^2 $$ $$ x^2 - 4x + 4 = 4(x + 6) $$ $$ x^2 - 4x + 4 = 4x + 24 $$ $$ x^2 - 8x - 20 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = -20 \end{cases} \implies x_1 = 10, \quad x_2 = -2 $$ С учётом условия $x \ge 2$: корень $x = -2$ является посторонним ($-2 < 2$). Проверка для $x = 10$: $\sqrt{2 \cdot 10 + 5} - \sqrt{10 + 6} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$ — верно. Ответ: $10$.