ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 2 - 18

18. Решим неравенство: $$ \sqrt{x^2 - 6x + 13} \le -x^2 + 6x - 7 $$ Преобразуем выражения в левой и правой частях неравенства, выделив полные квадраты. 1. Оценим левую часть неравенства: $$ x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) + 4 = (x - 3)^2 + 4 $$ Так как $(x - 3)^2 \ge 0$ при любых действительных $x$, получаем: $$ (x - 3)^2 + 4 \ge 4 $$ Следовательно, подкоренное выражение всегда положительно (ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$), а для корня справедливо: $$ \sqrt{x^2 - 6x + 13} = \sqrt{(x - 3)^2 + 4} \ge \sqrt{4} = 2 $$ Причем равенство $\sqrt{x^2 - 6x + 13} = 2$ достигается тогда и только тогда, когда $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$. 2. Оценим правую часть неравенства: $$ -x^2 + 6x - 7 = -(x^2 - 6x + 9) + 9 - 7 = -(x - 3)^2 + 2 $$ Так как $-(x - 3)^2 \le 0$ при любых действительных $x$, получаем: $$ -(x - 3)^2 + 2 \le 2 $$ Причем равенство $-x^2 + 6x - 7 = 2$ достигается тогда и только тогда, когда $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$. 3. Сравним обе части неравенства: Левая часть не меньше $2$, а правая часть не больше $2$: $$ \sqrt{x^2 - 6x + 13} \ge 2 \ge -x^2 + 6x - 7 $$ Исходное неравенство $\sqrt{x^2 - 6x + 13} \le -x^2 + 6x - 7$ может выполняться в том и только в том случае, когда обе части одновременно равны $2$: $$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 6x + 13} = 2 \\ -x^2 + 6x - 7 = 2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (x - 3)^2 = 0 \end{cases} $$ $$ x = 3 $$ Ответ: $3$.