ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 2 - 8

8. Решим иррациональное неравенство: $$ \sqrt{x-3} < x-5 $$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < g^2(x) \end{cases} $$ Запишем соответствующую систему неравенств: $$ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x - 5 > 0 \\ x - 3 < (x - 5)^2 \end{cases} $$ 1. Из первых двух неравенств получаем: $$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x > 5 \end{cases} \implies x > 5 $$ 2. Преобразуем третье неравенство: $$ x - 3 < x^2 - 10x + 25 $$ $$ x^2 - 11x + 28 > 0 $$ Найдем нули квадратного трехчлена $x^2 - 11x + 28 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 11 \\ x_1 \cdot x_2 = 28 \end{cases} \implies x_1 = 4, \quad x_2 = 7 $$ Разложим на множители: $$ (x - 4)(x - 7) > 0 $$ Решением этого неравенства является: $$ x \in (-\infty; 4) \cup (7; +\infty) $$ 3. Найдем пересечение полученных условий: $$ \begin{cases} x > 5 \\ x \in (-\infty; 4) \cup (7; +\infty) \end{cases} $$ Пересечением промежутка $(5; +\infty)$ с множеством $(-\infty; 4) \cup (7; +\infty)$ является интервал $(7; +\infty)$. Ответ: $x \in (7; +\infty)$