ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 2 - 10

Решим иррациональное неравенство: $$ \sqrt{x-3} > x-5 $$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x - 5 < 0, \\ x - 3 \ge 0; \end{cases} \\ &\begin{cases} x - 5 \ge 0, \\ x - 3 > (x - 5)^2. \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим каждую систему отдельно. **Первая система:** $$ \begin{cases} x < 5, \\ x \ge 3 \end{cases} \implies 3 \le x < 5 $$ Получаем промежуток $x \in [3; 5)$. **Вторая система:** $$ \begin{cases} x \ge 5, \\ x - 3 > x^2 - 10x + 25 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 - 11x + 28 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 11x + 28 = 0$: $$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{11 - 3}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{11 + 3}{2} = 7 $$ Решением неравенства $x^2 - 11x + 28 < 0$ является интервал: $$ 4 < x < 7 $$ Учитывая условие $x \ge 5$, находим пересечение: $$ \begin{cases} x \ge 5, \\ 4 < x < 7 \end{cases} \implies 5 \le x < 7 $$ Получаем промежуток $x \in [5; 7)$. **Объединение решений:** Объединяем решения первой и второй систем: $$ [3; 5) \cup [5; 7) = [3; 7) $$ Ответ: $[3; 7)$.