ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 2 - 17

Найдем область определения выражения $\sqrt[8]{x^2 - x - 12}$ (значения переменной $x$, при которых выражение имеет смысл). Так как корень имеет четный показатель степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ x^2 - x - 12 \ge 0 $$ 1. Найдем нули квадратного трехчлена, решив уравнение: $$ x^2 - x - 12 = 0 $$ По формуле корней через дискриминант: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$ $$ x_2 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ 2. Разложим левую часть неравенства на множители: $$ (x + 3)(x - 4) \ge 0 $$ 3. Решим неравенство методом интервалов: Отметим корни на числовой прямой закрашенными точками: $x = -3$ и $x = 4$. График функции $y = x^2 - x - 12$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$), следовательно, выражение принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями: $$ x \le -3 \quad \text{или} \quad x \ge 4 $$ Таким образом, область определения выражения: $$ x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$