ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 2 - 16

Решим неравенство: $$ \sqrt{8+\sqrt{x^2+6x+10}} \leqslant 3 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выделим полный квадрат в выражении под внутренним корнем: $$ x^2+6x+10 = (x^2+6x+9)+1 = (x+3)^2+1 $$ Так как $(x+3)^2 \geqslant 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то: $$ (x+3)^2+1 \geqslant 1 > 0 $$ Следовательно, подкоренное выражение внутреннего корня положительно при любых действительных $x$. Тогда и выражение под внешним корнем: $$ 8 + \sqrt{x^2+6x+10} \geqslant 8 + 1 = 9 > 0 $$ Значит, неравенство определено при всех $x \in \mathbb{R}$. 2. Обе части исходного неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ 8+\sqrt{x^2+6x+10} \leqslant 9 $$ $$ \sqrt{x^2+6x+10} \leqslant 1 $$ 3. Обе части полученного неравенства также неотрицательны, возведем их в квадрат еще раз: $$ x^2+6x+10 \leqslant 1 $$ $$ x^2+6x+9 \leqslant 0 $$ Свернем левую часть по формуле квадрата суммы: $$ (x+3)^2 \leqslant 0 $$ 4. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x+3)^2 \geqslant 0$. Следовательно, неравенство $(x+3)^2 \leqslant 0$ возможно только в случае равенства нулю: $$ (x+3)^2 = 0 $$ $$ x+3 = 0 $$ $$ x = -3 $$ Ответ: $-3$