ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 2 - 13

13. Решим неравенство: $$ \sqrt{x^2 - x - 2} \le -2 - |x| $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ x^2 - x - 2 \ge 0 $$ Разложим квадратный трехчлен на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. $$ (x + 1)(x - 2) \ge 0 $$ Решая методом интервалов, получаем: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$. 2. Оценим значения левой и правой частей неравенства: - По определению арифметического квадратного корня, при всех $x$ из ОДЗ левая часть неотрицательна: $$ \sqrt{x^2 - x - 2} \ge 0 $$ - Рассмотрим правую часть неравенства. Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ модуль $|x| \ge 0$, то: $$ -|x| \le 0 \implies -2 - |x| \le -2 < 0 $$ Значит, правая часть строго отрицательна при любых действительных значениях $x$. 3. Так как неотрицательное число не может быть меньше или равно строго отрицательному числу: $$ \sqrt{x^2 - x - 2} \ge 0 > -2 - |x| $$ данное неравенство не выполняется ни при каких значениях переменной $x$. Ответ: решений нет (или $\varnothing$).