ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 1 - 8

Решим неравенство: $$ \sqrt{x+8} < x+2 $$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > 0, \\ f(x) < g^2(x) \end{cases} $$ Составим соответствующую систему для данного неравенства: $$ \begin{cases} x + 8 \ge 0, \\ x + 2 > 0, \\ x + 8 < (x + 2)^2 \end{cases} $$ 1. Решим линейные неравенства системы: $$ \begin{cases} x \ge -8 \\ x > -2 \end{cases} \iff x > -2 $$ 2. Преобразуем и решим квадратное неравенство: $$ x + 8 < x^2 + 4x + 4 $$ $$ x^2 + 3x - 4 > 0 $$ Найдём нули квадратного трёхчлена $x^2 + 3x - 4 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 $$ Решением неравенства $x^2 + 3x - 4 > 0$ является объединение интервалов: $$ x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty) $$ 3. Найдём общее решение системы: $$ \begin{cases} x > -2, \\ x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty) \end{cases} $$ Пересекая промежутки, получаем: $$ x > 1 $$ Ответ: $x \in (1; +\infty)$.